Question

已知f（x）=-3x²+a（6-a）x+c（c＞-6）
（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数 a，c的值．
（2）解关于a的不等式f（1）＞0．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知-1，3是方程-3x²+a（6-a）x+c=0的两个根，结合根与系数的关系可得实数 a，c的值．
（2）f（1）＞0，即-3+a（6-a）+c＞0，由c＞-6和二次函数的图象和性质，可得不等式的解集．

解答： 解：（1）∵关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），
∴-1，3是方程-3x²+a（6-a）x+c=0的两个根，
由根与系数的关系得

-1+3=- a(6-a) -3 -1×3= c -3

，
解得

a=3± 3 c=9

；
（2）由f（1）＞0，即-3+a（6-a）+c＞0，
整理为a²-6a+3-c＜0，
因为c＞-6，
所以△=4（c+6）＞0，
方程的两个根是x1=3-

c+6

，x2=3+

c+6

，
所以不等式的解集是{x|3-

c+6

＜x＜3+

c+6

}．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．