Question

如果cos²⁰¹⁵φ-sin²⁰¹⁵φ＞2014（cos²⁰¹⁴φ-sin²⁰¹⁴φ），φ∈[0，2π），则φ的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：不等式整理后，设f（x）=x²⁰¹⁵-2014x²⁰¹⁴，由φ的范围求出x的范围，确定出导函数大于0，进而得到cosφ大于sinφ，即可确定出φ的范围．

解答： 解：不等式cos²⁰¹⁵φ-sin²⁰¹⁵φ＞2014（cos²⁰¹⁴φ-sin²⁰¹⁴φ），
整理得：cos²⁰¹⁵φ-2014cos²⁰¹⁴φ＞sin²⁰¹⁵φ-2014sin²⁰¹⁴φ，
设f（x）=x²⁰¹⁵-2014x²⁰¹⁴，
∵φ∈[0，2π），
∴x∈[-1，1]，
∵当x∈[-1，0）时，f′（x）=2015x²⁰¹⁴-2014²x²⁰¹³=（2015x-2014²）x²⁰¹³＞0，此时函数为增函数，
∵f（cosφ）＞f（sinφ），
∴cosφ＞sinφ，
∴φ的取值范围是（

5π

4

，2π）；
当x∈[0，1）时，f′（x）=2015x²⁰¹⁴-2014²x²⁰¹³=（2015x-2014²）x²⁰¹³＜0，此时函数为减函数，
∵f（cosφ）＞f（sinφ），
∴cosφ＜sinφ，
∴φ的取值范围是[

π

4

，

π

2

），
综上，φ的取值范围是[

π

4

，

π

2

）∪（

5π

4

，2π）．
故答案为：[

π

4

，

π

2

）∪（

5π

4

，2π）

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及导函数的性质，熟练掌握导函数的性质是解本题的关键．