Question

已知0＜α＜β＜γ＜2π，且cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求证：β-α=

2

3

π

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：由已知等式表示出cosγ与sinγ，代入sin²γ+cos²γ=1中，整理后利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得证．

解答： 证明：∵cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，
∴cosγ=-cosα-cosβ，sinγ=-sinα-sinβ，
∵sin²γ+cos²γ=1，
∴（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²=1，
整理得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1，即cosαcosβ+sinαsinβ=-

1

2

，
∴cos（β-α）=-

1

2

，
∵0＜α＜β＜2π，
∴β-α=

2π

3

．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．