Question

若z∈C，且1+z+z²=0，则1+z+z²+…+z¹⁰⁰=

 

．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：利用求根公式求出z，再由等比数列的前n项和化简，代入z后利用复数代数形式的乘除运算化简．

解答： 解：由1+z+z²=0，得z=

-1± 3 i

2

，∴z³=1，
则1+z+z²+…+z¹⁰⁰=

1-z101

1-z

=

1-(z3)33•z2

1-z

=

1-z2

1-z

．
当z=-

1

2

+

3

2

i 时，z2=(-

1

2

+

3

2

i)2=

1

4

-

3

2

i-

3

4

=-

1

2

-

3

2

i，
1+z+z²+…+z¹⁰⁰=

1+ 1 2 + 3 2 i

1+ 1 2 - 3 2 i

=

3+ 3 i

3- 3 i

=

(3+ 3 i)2

(3- 3 i)(3+ 3 i)

=

1

2

+

3

2

i；
当z=-

1

2

-

3

2

i时，z2=(-

1

2

-

3

2

i)2=-

1

2

+

3

2

i，
1+z+z²+…+z¹⁰⁰=

1+ 1 2 - 3 2 i

1+ 1 2 + 3 2 i

=

3- 3 i

3+ 3 i

=

(3- 3 i)2

(3+ 3 i)(3- 3 i)

=-

1

2

-

3

2

i．
故答案为：-

1

2

±

3

2

i．

点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理，是基础题．