Question

已知函数f（x）=

x

ax+b

（a、b为常数，a≠0）满足f（2）=1，且f（x）=x有唯一解，若记x_n=f（x_n-1），且x₁=1，求x_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得2a+b=2，△=（b-1）²=0，从而a=

1

2

，b=1，进而f（x）=

2x

x+2

，由x_n=f（x_n-1）=

2xn-1

xn-1+2

，x₁=1，得

1

xn

=

xn-1+2

2xn-1

=

1

2

+

1

xn-1

，由此得到{

1

x1

}是首项为

1

2

，公差为1的等差数列，从而能求出x_n．

解答： 解：∵f（x）=

x

ax+b

，f（2）=1，∴2a+b=2①，
∵f（x）=x有唯一解，
∴ax²+（b-1）x=0，△=（b-1）²=0②，
由①②得：a=

1

2

，b=1，
∴f（x）=

2x

x+2

，
∵x_n=f（x_n-1）=

2xn-1

xn-1+2

，x₁=1，
∴

1

xn

=

xn-1+2

2xn-1

=

1

2

+

1

xn-1

，
∴

1

xn

-

1

xn-1

=

1

2

，又

1

x1

=1，
∴{

1

x1

}是首项为

1

2

，公差为1的等差数列，
∴

1

xn

=

1

2

+(n-1)×1=n-

1

2

．
∴x_n=

2

2n-1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题的关键是推导出{

1

x1

}是首项为

1

2

，公差为1的等差数列．