Question

如图所示，在⊙O中，AB与CD是夹角为60°的两条直径，E、F分别是⊙O与直径CD上的动点，若

OE

•

BF

+λ

OA

•

OC

=0，则λ的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：根据题意，建立直角坐标系，用坐标表示B、C、E、F，计算

OE

•

BF

与

OA

•

OC

，求出λ的表达式，求出λ的取值范围即可．

解答： 解：设⊙O的半径为r，以O为原点，OB为x轴建立直角坐标系，如图所示；
则B（r，0），C（

1

2

r，-

3

2

r），
设E（rcosα，rsinα），α∈（0，π）；
∴

OF

=μ

OC

=μ（

1

2

r，-

3

2

r）=（

1

2

μr，-

3

2

μr），其中μ∈[-1，1]；
∴

BF

=（

1

2

μr-r，-

3

2

μr），
∴

OE

•

BF

=（rcosα，rsinα）•（

1

2

μr-r，-

3

2

μr）=r²（

1

2

μ-1）cosα-

3

2

μr²sinα；

OA

•

OC

=（-r0）•（

1

2

r，-

3

2

r）=-

1

2

r²；
∵

OE

•

BF

+λ

OA

•

OC

=0，
∴λ=-

OE • BF

OA • OC

=（μ-2）cosα-

3

μsinα=

(μ-2)2+3μ2

sin（α+θ）=

4(μ- 1 2 )2+3

sin（α+θ）；
又μ∈[-1，1]，∴

3

≤

4(μ- 1 2 )2+3

≤2

3

，
∴-2

3

≤

4(μ-1)2+3

sin（α+θ）≤2

3

；
∴-2

3

≤λ≤2

3

，
即λ的取值范围是[-2

3

，2

3

]．
故答案为：[-2

3

，2

3

]．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了求函数的最值问题以及三角函数的恒等变换问题，是较难的题目．