Question

12．已知三个复数z₁，z₂，z₃，并且|z₁|=|z₂|=|z₃|=1，z₁，z₂所对应的向量$\overrightarrow{o{z}_{1}}$，$\overrightarrow{o{z}_{2}}$满足$\overrightarrow{o{z}_{1}}$•$\overrightarrow{o{z}_{2}}$=0，则|z₁+z₂-z₃|的取值范围是[$\sqrt{2}-1$，$\sqrt{2}+1$]．

Answer 1

分析 由题意画出图形，再由|z₁+z₂-z₃|的几何意义求解．

解答 解：由题意可知：复数z₁，z₂，z₃对应的点Z₁，Z₂，Z₃在单位圆上，
又$\overrightarrow{O{Z}_{1}}•\overrightarrow{O{Z}_{2}}=0$，∴OZ₁⊥OZ₂．
不妨设Z₁（1，0），Z₂（0，1），如图：

∴当Z₃与A重合时，|z₁+z₂-z₃|有最小值为$\sqrt{2}-1$；
当Z₃与B重合时，|z₁+z₂-z₃|有最大值为$\sqrt{2}+1$．
∴|z₁+z₂-z₃|的取值范围是[$\sqrt{2}-1$，$\sqrt{2}+1$]．
故答案为：[$\sqrt{2}-1$，$\sqrt{2}+1$]．

点评 本题考查复数模的求法，考查向量垂直与数量积的关系，是中档题．