Question

3．已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₁+2a₂=1，且a₃²=4a₂•a₆．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a_n，求数列$\{\frac{1}{b_n}\}$的前n项和；
（3）设c_n=$\frac{{{b_n}•{a_n}}}{n}$，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）根据{a_n}是等比数列，设{a_n}的公比为q，根据a₁+2a₂=1，且a₃²=4a₂•a₆．求出q和a₁可得数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a_n，数列求出b_n的通项公式，利用裂项法求解数列$\{\frac{1}{b_n}\}$的前n项和；
（3）求出c_n的通项公式，利用分组求和法以及错位相减法即可求出数列{c_n}的前n项和．

解答 解：（1）由题意，设{a_n}的公比为q，则a₁+2qa₁=1，且（q²a₁）²=4q⁶a₁²．
解得：a₁=$\frac{1}{2}$，q=$\frac{1}{2}$．q=$-\frac{1}{2}$（舍去）
∴数列{a_n}的通项公式：a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}={2}^{-n}$．
（2）∵b_n=log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a_n，a_n=2^-n
∴b_n=-1-2-3-…-n=-（$\frac{n（n+1）}{2}$）
那么数列$\{\frac{1}{b_n}\}$的通项公式D_n=$-\frac{2}{n（n+1）}$=-2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
则D_n前n项和为：D₁+D₂+…D_n-1+D_n=-2[1$-\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$]=-2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$-\frac{2n}{n+1}$．
（3）由c_n=$\frac{{{b_n}•{a_n}}}{n}$=$-\frac{（n+1）}{2}×{2}^{-n}$=-（${2}^{-n}×\frac{n}{2}+{2}^{-n}$）=$-\frac{1}{2}（n•{2}^{-n}）-{2}^{-n}$
∵数列{$-\frac{1}{2}n•{2}^{-n}$}的前n项和采用错位相减法：
S_n=$-\frac{1}{2}×{2}^{-1}$+$-\frac{1}{2}×2×{2}^{-2}$+…+$-\frac{1}{2}n•{2}^{-n}$，
$\frac{1}{2}$S_n=$-\frac{1}{2}×{2}^{-2}$+$-\frac{1}{2}×2×{2}^{-3}$+…+$-\frac{1}{2}n•{2}^{-n-1}$，
错位相减法：可得S_n=$-\frac{1}{2}$×$\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}（\frac{1-{（\frac{1}{2}）}^{n}}{1-\frac{1}{2}}-n{（\frac{1}{2}）}^{n}）$．
∵数列{2^-n}是等比数列，前n项和为：$\frac{\frac{1}{2}-{2}^{-n}}{1-\frac{1}{2}}$．
那么数列{c_n}的前n项和T_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ+$\frac{n}{2}×（\frac{1}{2}）^{n}$+2^-n+1-2

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用错位相减法和分组求和法是解决本题的关键，属于难题