Question

15．在平面直角坐标系xoy中，曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上，
（1）求圆C的方程；
（2）求过定点（2，3）与圆相交所截得的弦长为$4\sqrt{2}$的直线方程；
（3）若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

分析 （1）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；
法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，
（2）利用点斜式设出直线方程，根据直线被圆截得的弦长为$4\sqrt{2}$求解k，可得直线方程．
（3）利用设而不求思想设出圆C与直线x-y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．

解答 解：（1）法一：曲线y=x²-6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2$\sqrt{2}$，0），（3-2$\sqrt{2}$，0）．
可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有3²+（t-1）²=（2$\sqrt{2}$）²+t²，解得t=1，
故圆C的半径为 $\sqrt{9{+（t-1）}^{2}}$=3，所以圆C的方程为（x-3）²+（y-1）²=9．
法二：设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
圆过（0，1）即x=0，y=1有1+E+F=0，
y=0，x² -6x+1=0与x²+Dx+F=0是同一方程，故有D=-6，F=1，E=-2，
即圆方程为x²+y²-6x-2y+1=0．
（2）直线过定点（2，3），当k存在时，设直线方程为y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0．
由（1）可知圆心为（3，1），半径r=3．
圆心到直线的距离d=$\frac{|3k-1+3-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
由直线被圆截得的弦长公式l=4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，
解得：k=$-\frac{3}{4}$．
∴直线方程为3x+4y-18=0．
当k不存在时，设直线方程为x=2，圆心为（3，1），半径r=3．
圆心到直线的距离d=1，
直线被圆截得的弦长公式l=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，满足题意，
故得过定点（2，3）与圆相交所截得的弦长为$4\sqrt{2}$的直线方程为x=2或3x+4y-18=0．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
其坐标满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+a=0}\\{{（x-3）}^{2}{+（y-1）}^{2}=9}\end{array}\right.$，
消去y，得到方程2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0，
由已知可得判别式△=56-16a-4a²＞0．
在此条件下利用根与系数的关系得到x₁+x₂=4-a，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}-2a+1}{2}$①，
由于OA⊥OB可得x₁x₂+y_1^y2=0，又y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，
所以可得2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0②
由①②可得a=-1，满足△=56-16a-4a²＞0；
故a=-1．

点评 本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．