Question

10．已知函数$f（x）=cosxsin（x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）设g（x）=2af（x）+b，若g（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]上的值域为[2，4]，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．根据g（x）值域为[2，4]，即可a，b的值

解答 解：（1）函数$f（x）=cosxsin（x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
化简可得：f（x）=$cosx（\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$=$\frac{1}{2}sinxcosx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}{cos^2}x-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$=$\frac{1}{4}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{1-cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$=$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
得：$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}$
∴f（x）的单调增区间为：$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]$，k∈Z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：$f（x）=\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）$，那么：g（x）=2af（x）+b=asin（2x-$\frac{π}{3}$）+b．
∵$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$，
∴$-\frac{5π}{6}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{6}$
则：-1≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$．
当a＞0时，g（x）的值域为[-a+b，$\frac{1}{2}$a+b]，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{-a+b=2}\\{\frac{1}{2}a+b=4}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{4}{3}$，b=$\frac{10}{3}$
当a＜0时，g（x）的值域为[$\frac{1}{2}$a+b，-a+b]，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{-a+b=4}\\{\frac{1}{2}a+b=2}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{4}{3}$，b=$\frac{8}{3}$．
故得当a＞0时，a=$\frac{4}{3}$，b=$\frac{10}{3}$
当a＜0时，a=-$\frac{4}{3}$，b=$\frac{8}{3}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．