Question

18．若存在两个正实数x、y，使得等式x+m（y-2ex）（lnx-lny）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数m的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{e}$]∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．

解答 解：∵x+m（y-2ex）（lnx-lny）=0，
∴x+m（y-2ex）ln$\frac{x}{y}$=0，
即1+m（$\frac{y}{x}-2e$）ln$\frac{x}{y}$=0，
令$\frac{y}{x}=t$，则1-m（t-2e）lnt=0，
∴m=$\frac{1}{（t-2e）lnt}$，即$\frac{1}{m}$=（t-2e）lnt，
令f（t）=（t-2e）lnt，则f′（t）=lnt+1-$\frac{2e}{t}$是增函数，
∵f′（e）=lne+1-2=0，
∴当0＜t＜e时，f′（t）＜0，当t＞e时，f′（t）＞0，
∴f（t）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
∴当t=e时，f（t）取得最小值f（e）=-e，
∴$\frac{1}{m}$≥-e，
解得m＞0或m≤-$\frac{1}{e}$．
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{e}$]∪（0，+∞）．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．