Question

12．已知圆O的圆心为（2，-1），且圆与直线3x+4y-7=0相切．求：
（1）求圆O的标准方程；
（2）圆心O关于直线2x-y+1=0的对称点O′为圆心，半径不变的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线3x+4y-7=0的距离即为圆的半径，根据圆心坐标和求出的半径写出圆的方程即可；
（2）设出（2，-1）关于直线2x-y+1=0的对称点O′为：（a，b），由两点中点在直线上，斜率之积等于-1联立方程组求出所求圆的圆心坐标，即可求出结论．

解答 解：（1）由点（2，-1）到直线3x+4y-7=0的距离d=$\frac{|6-4-7|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=1$，
得圆的半径r=d=1，
则所求的圆的方程为（x-2）²+（y+1）²=1；
（2）设（2，-1）关于直线2x-y+1=0的对称点O′为：（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{2×\frac{a+2}{2}-\frac{b-1}{2}+1=0}\\{\frac{b+1}{a-2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=-$\frac{14}{5}$，b=$\frac{7}{5}$，即O′（-$\frac{14}{5}$，$\frac{7}{5}$），r=1，
则所求的圆的方程为（x+$\frac{14}{5}$）²+（y-$\frac{7}{5}$）²=1．

点评 本题考查圆的标准方程以及圆的切线方程，运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题．