Question

1．若函数f（x）为定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），对任意实数x满足xf′（x）＞-f（-x），则不等式xf（x）＜（1-2x）f（1-2x）的解集是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{3}$）
• B． （$\frac{1}{3}$，+∞）
• C． （-∞，$\frac{1}{3}$）
• D． （-∞，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=xf（x），求出函数的导数，得到g（x）在R递增，得到g（x）＜g（1-2x），问题转化为x＜1-2x，解出即可．

解答 解：函数f（x）为定义在R上的偶函数，
故f（-x）=f（x），
故对任意实数x满足xf′（x）＞-f（-x），
即xf′（x）+f（x）＞0，
令g（x）=xf（x），g′（x）=xf′（x）+f（x）＞0，
∴g（x）在R递增，
若不等式xf（x）＜（1-2x）f（1-2x），
则g（x）＜g（1-2x），则x＜1-2x，解得：x＜$\frac{1}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）=xf（x）是解题的关键，本题是一道中档题．