Question

6．求函数y=-x²+2ax（其中a为常数）在区间[-1，1]上的最小值．

Answer 1

分析 求得二次函数的对称轴方程，对a讨论区间[-1，1]的位置关系，分当a≥1时，当a≤-1时，当-1＜a≤0时，当0＜a＜1时，讨论单调性，即可得到所求最小值．

解答 解：函数y=-x²+2ax的图象为开口向下，对称轴为x=a，
①当a≥1时，区间[-1，1]为增区间，可得f（-1）取得最小值，且为-1-2a；
②当a≤-1时，区间[-1，1]为减区间，可得f（1）取得最小值，且为-1+2a；
③当-1＜a≤0时，f（-1）≥f（1），可得[-1，a）递增，（a，1]递减，则f（1）=2a-1为最小值；
④当0＜a＜1时，f（-1）＜f（1），可得[-1，a）递增，（a，1]递减，则f（-1）=-2a-1为最小值．
综上可得，当a＞0时，f（x）的最小值为f（-1）=-1-2a；
当a≤0时，f（x）的最小值为f（1）=-1+2a．

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，注意运用对称轴和区间的关系，运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．