Question

18．已知不等式$\frac{a}{x-2}$＞1-a
（1）若a=x，求关于x不等式的解集；   
（2）若a≠1，求关于x不等式的解集．

Answer 1

分析 （1）若a=x，根据分式不等式的解法，即可求关于x不等式的解集；   
（2）若a≠1，讨论a的取值范围，即可求关于x不等式的解集．

解答 解：（1）a=x，则$\frac{x}{x-2}$＞1-x，
∴$\frac{{{x^2}-2x+2}}{x-2}＞0\\∵{x^2}-2x+2={（{x-1}）^2}+1＞0$，∴$x＞2\\∴原不等式的解集为\left\{{x\left|{x＞2}\right.}\right\}\\（2）\frac{a}{x-2}＞1-a?\frac{{（{a-1}）x-（{a-2}）}}{x-2}＞0\end{array}$，故不等式的解集为（2，+∞），
（2）①a＞1时，可转化为$（{x-2}）（{x-\frac{a-2}{a-1}}）＞0$
此时$\frac{a-2}{a-1}＜2$，不等式的解集为$\left\{{\left.x\right|x＜\frac{a-2}{a-1}或x＞2}\right\}$
②a＜1时，可转化为$（{x-2}）（{x-\frac{a-2}{a-1}}）＜0$
（i）当$\frac{a-2}{a-1}＞2$即0＜a＜1时，不等式的解集为$\left\{{\left.x\right|2＜x＜\frac{a-2}{a-1}}\right\}$
（ii）当$\frac{a-2}{a-1}=2$即a=0时，不等式的解集为∅
（iii）当$\frac{a-2}{a-1}＜2$即a＜0时，不等式的解集为$\left\{{\left.x\right|\frac{a-2}{a-1}＜x＜2}\right\}$，
综上所述：当a＞1时，解集为$\left\{{\left.x\right|x＜\frac{a-2}{a-1}或x＞2}\right\}$；
当0＜a＜1时，解集为$\left\{{\left.x\right|2＜x＜\frac{a-2}{a-1}}\right\}$；
当a=0时，不等式的解集为∅；
当a＜0时，不等式的解集为$\left\{{\left.x\right|\frac{a-2}{a-1}＜x＜2}\right\}$．

点评 本题主要考查分式不等式的解法，利用分类讨论是解决本题的关键．