Question

2．如果cosα•sinα＞0，且sinα•tanα＞0．化简：sin$\frac{α}{2}$•$\sqrt{\frac{{1-cos\frac{α}{2}}}{{1+cos\frac{α}{2}}}}$+sin$\frac{α}{2}$•$\sqrt{\frac{{1+cos\frac{α}{2}}}{{1-cos\frac{α}{2}}}}$．

Answer 1

分析 利用已知条件判断正弦函数符号，判断角所在象限，化简所求的表达式，代入求解即可．

解答 解：$由sinα•tanα＞0得：\frac{{{{sin}^2}α}}{cosα}＞0⇒cosα＞0$，
又cosα•sinα＞0⇒sinα＞0，
∴$2kπ＜α＜2kπ+\frac{π}{2}$，∴$kπ＜\frac{α}{2}＜kπ+\frac{π}{4}$…（2分）
∴$k为偶数时，\frac{α}{2}位于第一象限$；
$k为奇数时，\frac{α}{2}位于第三象限$；…（3分）．
∴$原式=sin\frac{α}{2}•\sqrt{\frac{{1-{{cos}^2}\frac{α}{2}}}{{{{（1+cos\frac{α}{2}）}^2}}}}+sin\frac{α}{2}•\sqrt{\frac{{1-{{cos}^2}\frac{α}{2}}}{{{{（1-cos\frac{α}{2}）}^2}}}}$
=$sin\frac{α}{2}•\frac{{|sin\frac{α}{2}|}}{{1+cos\frac{α}{2}}}+sin\frac{α}{2}•\frac{{|sin\frac{α}{2}|}}{{1-cos\frac{α}{2}}}=\frac{{2|sin\frac{α}{2}|}}{{sin\frac{α}{2}}}$…（4分）
=$\left\{{\begin{array}{l}2&{（\frac{α}{2}在第一象限）}\\{-2}&{（\frac{α}{2}在第三象限）}\end{array}}\right.$…（6分）

点评 本题考查三角函数符号，诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．