Question

【题目】已知椭圆C过点 ，两个焦点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）

【解析】

（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；

（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，由弦长求得m，可得三角形AOB的面积；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．

解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），

且c，2a12，

则a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．

∴椭圆C的标准方程为；

（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，

得|AB|，

由|AB|6，解得m＝±3，

此时；

当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，

联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣36＝0．

△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144．

设A（，），B（，），

则，．

由|AB|6，

整理得：，原点O到AB的距离d．

∴

．

当时，△AOB面积有最大值为9．

综上，△AOB面积的最大值为．