Question

【题目】如图1，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△PAB沿AB边折起，使平面PAB⊥平面ABCD，连接PC、PD，如图2，

（1）证明：AB⊥PC；

（2）求PD与平面ABCD所成角的正弦值

（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MC？若存在，请找出N点的位置；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】(1)证明见解析 (2)．(3)存在，PN．

【解析】

（1）只需证明AB⊥面PMC，即可证明AB⊥PC；

（2）由PM⊥面ABCD得∠PDM为PD与平面ABCD所成角，解△PDM即可求得PD与平面ABCD所成角的正弦值．

（3）设DB∩MC＝E，连接NE，可得PB∥NE，．即可．

（1）证明：∵△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，

∴PM⊥AB．

∵ABCD为菱形，∠ABC＝60°．∴CM⊥AB，且PM∩MC＝M，

∴AB⊥面PMC，

∵PC面PMC，∴AB⊥PC；

（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PM⊥AB．

∴PM⊥面ABCD，

∴∠PDM为PD与平面ABCD所成角．

PM，MD，PD

sin∠PMD，

即PD与平面ABCD所成角的正弦值为．

（3）设DB∩MC＝E，连接NE，

则有面PBD∩面MNC＝NE，

∵PB∥平面MNC，∴PB∥NE．

∴．

线段PD上存在点N，使得PB∥平面MNC，且PN．