Question

已知在函数f（x）=mx³-x的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为

π

4

．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-2013对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求证：|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+

1

2t

），（x∈R，t＞0）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义得tan

π

4

=f′(1)，即1=3m-1，m=

2

3

，再将（1，n）代入f（x）=mx³-x求得n
（Ⅱ）不等式f（x）≤k-2013对于x∈[-1，3]恒成立，只需f（x）_min≤k-2013，转化为求f（x）_min
（Ⅲ）方法一：利用三角函数公式得出|f(sinx)+f(cosx)|=|(

2

3

sin3x-sinx)+(

2

3

cos3x-cosx)|=

1

3

|

2

sin(x+

π

4

)|3≤

2 2

3

．利用f（x）在(

2

2

，+∞)为增函数，得出2f（t+

1

2t

）≥2f（

2?

2

）=

2 2

3

，不等式可证．
方法二：由（Ⅱ）得出的单调性，可以证出x∈[-1，1]时，-

2

3

≤f(x)≤

2

3

，即f(x)|≤

2

3

，
由于sinx，cosx∈[-1，1]所以|f(sinx)|≤

2

3

，|f(cos)|≤

2

3

，|f（sinx）+f（cosx）|≤

2 2

3

，利用f（x）在(

2

2

，+∞)为增函数，得出2f（t+

1

2t

）≥2f（

2?

2

）=

2 2

3

，不等式可证．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3mx²-1，依题意，得tan

π

4

=f′(1)，即1=3m-1，m=

2

3

∴f(x)=

2

3

x3-x，把N(1，n)代得，得n=f(1)=-

1

3

，
∴m=

2

3

，n=-

1

3

（Ⅱ）令f′(x)=2(x+

2

2

)(x-

2

2

)=0，则x=±

2

2

，
当-1＜x＜-

2

2

时，f′(x)=2x2-1＞0，f(x)在此区间为增函数
当-

2

2

＜x＜

2

2

时，f′(x)=2x2-1＜0，f(x)在此区间为减函数
当

2?

2

＜x＜3时，f′(x)=2x2-1＞0，），f（x）在此区间为增函数
又f（-

2?

2

）=

2 2

3

，f（3）=15，
因此，当x∈[-1，3]时，-

2

3

≤f(x)≤15，
要使得不等式f（x）≤k-2013对于x∈[-1，3]恒成立，则k≥15+2013=2028
所以，存在最小的正整数k=2028，
使得不等式f（x）≤k-2013对于x∈[-1，3]恒成立．
（Ⅲ）（方法一）|f(sinx)+f(cosx)|=|(

2

3

sin3x-sinx)+(

2

3

cos3x-cosx)|=|

2

3

(sin3+cos3x)-(sinx+cosx)|=|(sinx+cosx)[

2

3

(sin2x-sinxcosx+cos2x)-1]|=|sinx+cosx|•|

2

3

sinxcosx+

1

3

|=

1

3

|sinx+cosx|3=

1

3

|

2

sin(x+

π

4

)|3≤

2 2

3

．
又∵t＞0∴t+

1

2t

≥

2

，由（2）知f（x）在(

2

2

，+∞)为增函数，∴2f(t+

1

2t

)≥2f(

2

)=

2 2

3

综上可得：|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+

1

2t

)(x∈R，t＞0)．
（方法二）由（Ⅱ）知，函数f(x)在[-1，-

2

2

]上是增函数；在[-

2

2

，

2

2

]
上是减函数，在[

2

2

，1]上是增函数
又f(-1)=

1

3

，f(-

2

2

)=

2

3

，f(

2

2

)=-

2

3

，f(1)=-

1

3

所以，当x∈[-1，1]时，-

2

3

≤f(x)≤

2

3

，即f(x)|≤

2

3

，
∵sinx，cosx∈[-1，1]∴|f(sinx)|≤

2

3

，|f(cos)|≤

2

3

．
∴|f(sinx)+f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤

2

3

+

2

3

=

2 2

3

又t＞0，∴t+

1

2t

≥

2

＞1，且函数f（x）在[1，+∞]上是增函数，
∴2f(t+

1

2t

)≥2f(

2

)=2[

2

3

(

2

)3-

2

]=

2 2

3

综上可得：|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+

1

2t

)(x∈R，t＞0)

点评：本题考查函数的单调性与导数，函数性质的应用，不等式的证明与不等式恒成立，考查分析解决问题能力，研究出函数的性质，再应用性质解决问题需要较高的数学能力．