Question

已知函数f（x）=xlnx-ax²，x＞0
（1）当a=2时，函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若在区间（2，3）内任取实数p，q（p＞q）都有不等式

f(p)-f(q)

p-q

＜1恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），求证：f（x₂）＞-

1

2

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到；
（2）对任意实数p，q∈（2，3）（p＞q）都有不等式

f(p)-f(q)

p-q

＜1恒成立，即对任意实数p，q∈（2，3）（p＞q）都有不等式f（p）-p＜f（q）-q恒成立，记g（x）=f（x）-x，x∈（2，3），构造函数h(x)=

lnx

x

，x∈(2，3)，求出最大值即可；
（3）方法一、即函数f'（x）=lnx+1-2ax，x＞0有两个零点x₁，x₂，讨论a＞0，a≤0，再求导数，得到f′(

1

2a

)＞0，从而0＜a＜

1

2

，再讨论f（x）的单调性，即可得证；
方法二、：f'（x）=lnx+1-2ax∴由函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，得方程lnx+1-2ax=0有两个不相等的正实根x₁，x₂即函数g（x）=lnx与函数h（x）=2ax-1有两个交点，由直线与曲线相切，求出切线方程，得到
0＜a＜

1

2

，再讨论f（x）的单调性，即可得证．

解答： （1）解：当a=2时，有f（x）=xlnx-2x²
∴f'（x）=lnx+1-4x
∴f'（1）=-3又f（1）=-2
∴切线方程为y+2=-3（x-1）即y=-3x+1；
（2）解：若对任意实数p，q∈（2，3）（p＞q）都有不等式

f(p)-f(q)

p-q

＜1恒成立，
即对任意实数p，q∈（2，3）（p＞q）都有不等式f（p）-f（q）＜p-q恒成立，
，即对任意实数p，q∈（2，3）（p＞q）都有不等式f（p）-p＜f（q）-q恒成立，
记g（x）=f（x）-x，x∈（2，3），则g（x）在x∈（2，3）上为减函数
又g'（x）=lnx-2ax，x∈（2，3）∴对任意x∈（2，3）有lnx-2ax≤0恒成立
∴2a≥(

lnx

x

)max，x∈(2，3)
记h(x)=

lnx

x

，x∈(2，3)
则h′(x)=

1-lnx

x2

，x∈(2，3)
∴h（x）在x∈（2，e]上单调递增，在x∈[e，3）上单调递减
∴h(x)max=h(e)=

1

e

∴a≥

1

2e

；
（3）证法一：∵f'（x）=lnx+1-2ax∴由函数f（x）有两个极值点x₁，x₂
得函数f'（x）=lnx+1-2ax，x＞0有两个零点x₁，x₂
∵f″(x)=

1

x

-2a=

1-2ax

x

当a≤0时，有f''（x）＞0此时f'（x）在x∈（0，+∞）上单调递增∴不符合，
∴a＞0此时x∈(0，

1

2a

)时，f''（x）＞0，x∈(

1

2a

，+∞)时，f''（x）＜0
∴f'（x）在x∈(0，

1

2a

)上单调递增，在x∈(

1

2a

，+∞)上单调递减
又f'（x）有两个零点x₁，x₂，
∴f′(

1

2a

)＞0∴ln

1

2a

＞0∴

1

2a

＞1∴0＜a＜

1

2

，
∴当x∈（0，x₁）时，f'（x）＜0，当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＞0，
当x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＜0
∴f（x）在x∈（0，x₁）上单调递减，在x∈（x₁，x₂）上单调递增，
在x∈（x₂，+∞）上单调递减
又f'（1）=1-2a＞0∴1∈（x₁，x₂）
∴f(x2)＞f(1)=-a＞-

1

2

．
证法二：∵f'（x）=lnx+1-2ax∴由函数f（x）有两个极值点x₁，x₂
得方程lnx+1-2ax=0有两个不相等的正实根x₁，x₂
即函数g（x）=lnx与函数h（x）=2ax-1有两个交点∴a＞0
设经过点（0，-1）的直线与曲线g（x）=lnx相切于点（x₀，lnx₀），
则切线方程为y-lnx0=

1

x0

(x-x0)，将点（0，-1）代入得x₀=1
∴切点为（1，0）此时，切线的斜率为k=1
∴要使函数g（x）=lnx与函数h（x）=2ax-1有两个交点
由图象可知0＜2a＜1且0＜x₁＜1＜x₂
又当x∈（0，x₁）时，f'（x）＜0，当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＞0，
当x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＜0
∴f（x）在x∈（0，x₁）上单调递减，在x∈（x₁，x₂）上单调递增，
在x∈（x₂，+∞）上单调递减
又1∈（x₁，x₂）
∴f(x2)＞f(1)=-a＞-

1

2

．

点评：本题考查导数的综合运用：求切线方程，求单调区间、求极值，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，以及构造函数的能力，运算求解的能力，属于中档题．