Question

设f（x）=ax³+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线为6x+y+4=0．
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f（x）为奇函数，得c=0．求导得f′（x）=3ax²+b，由已知得

f′(x)=3a+b=-6 f(1)=ab=-10

，从而得到a=2，b=-12，c=0．
（2）由（1）得f（x）=2x³-12x．f′(x)=6x2-12=6(x+

2

)(x-

2

)，列表讨论，能求出f（x）的单调区间和极值．

解答： 解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c，∴c=0．
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线为6x+y+4=0，
∴f（1）=y=-10，
求导得f′（x）=3ax²+b，∴

f′(x)=3a+b=-6 f(1)=ab=-10

，
解得a=2，b=-12，
∴a=2，b=-12，c=0．…（6分）
（2）由（1）得f（x）=2x³-12x．∴f′(x)=6x2-12=6(x+

2

)(x-

2

)，列表如下：

x	（-∞，- 2 ）	- 2	（- 2 ， 2 ）	2	（ 2 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小	↑

∴函数f（x）的单调增区间是（-∞，-

2

）和（

2

，+∞），单调减区间是（-

2

，

2

）．
∴f（x）_极大值=f(-

2

)=8

2

，f（x）_极小值=-8

2

．…（12分）

点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．