Question

已知函数f（x）=x²-2ax+b在x=1处有极值2．求函数f（x）=x²-2ax+b在闭区间[0，3]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：由已知得f′（x）=2x-2a，且

f′(1)=2-2a=0 f(1)=1-2a+b=2

，由此利用导数性质能求出函数f（x）=x²-2ax+b在闭区间[0，3]上的最值．

解答： 解：∵f（x）=x²-2ax+b，∴f′（x）=2x-2a，
∵f（x）在x=1时有极值2，
∴

f′(1)=2-2a=0 f(1)=1-2a+b=2

，
解方程组得：a=1，b=3，∴f（x）=x²-2x+3，…．（6分）
当x∈[0，1]时，f′（x）＜0，∴f（x）单调递减，
当x∈[1，3]时，f′（x）＞0，∴f（x）单调递增，且f（0）=3，f（1）=2，f（3）=6，
∴f（x）的最大值为6，f（x）最小值为2．…（12分）

点评：本题主要考查最值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．