Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，E为PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：PB⊥AD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC，BD，交于O，连结OE，由已知条件推导出OE∥PA，由此能证明PA∥平面BDE．
（2）连接DN，由PA=AB=BD=PD，N为PB中点，得AN⊥PB，DN⊥PB，从而PB⊥平面ADN，由此能证明PB⊥AD．

解答： 证明：（1）连结AC，BD，交于O，连结OE，
∵底面ABCD是菱形，∴O是AC的中点，
∵E为PC的中点，∴OE∥PA，
∵OE?平面BDE，PA不包含于平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）连接DN，
∵PA=AB=BD=PD，N为PB中点，
∴AN⊥PB，DN⊥PB，
又∵AN∩BN=N，
∴PB⊥平面ADN，
∵AD?平面ADN，∴PB⊥AD．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．