Question

对于函数f（x）=a-

2

2x+1

，x∈R
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）探索函数f（x）的单调性；
（3）若f（log_b（2t-t²））＞f（log_b（2-t））（b＞0且b≠1），求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）为奇函数，f（0）=0，求得实数a的值．
（2）根据函数的解析式可得当x增大时，

2

2x+1

变小，a-

2

2x+1

变大，可得函数f（x）在R上是增函数．
（3）由f（log_b（2t-t²））＞f（log_b（2-t））以及f（x）在R上是增函数可得单调性可得log_b（2t-t²））＞log_b（2-t），分对数的底数大于1、和大于零小于1两种情况，分别求得t的范围．

解答： 解：（1）对于函数f（x）=a-

2

2x+1

，x∈R，若函数f（x）为奇函数，则有f（0）=a-1=0，由此求得实数a=1．
（2）由于当x增大时，

2

2x+1

变小，故a-

2

2x+1

变大，故函数f（x）在R上是增函数．
（3）若f（log_b（2t-t²））＞f（log_b（2-t）），则由f（x）在R上是增函数可得单调性可得log_b（2t-t²））＞log_b（2-t），
当b＞1时，2t-t² ＞2-t，求得1＜t＜2，故实数t的取值范围为（1，2），
当0＜b＜1时，0＜2t-t² ＜2-t，求得1＜t＜2，故实数t的取值范围为（0，1）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，属于基础题．