商丘是商部族的起源和聚居地.商人.商业的发源地和商朝最早的建都地．华商始祖王亥最早在这里.商丘是华商之都.于2006年11月10日在商丘举办首届国际华商文化节.某花卉集团根据需要欲将如图所示一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN.要求B点在AM上.D点在AN上.且对角线MN过C点.已知AB=3米.AD=2米．(Ⅰ)要使矩形AMPN的面积大于32平� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

商丘是商部族的起源和聚居地，商人、商业的发源地和商朝最早的建都地．华商始祖王亥最早在这里，商丘是华商之都，于2006年11月10日在商丘举办首届国际华商文化节，某花卉集团根据需要欲将如图所示一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．
（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
（Ⅱ）当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

考点：基本不等式在最值问题中的应用,不等式的实际应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则AN=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．
（Ⅱ）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．

解答： 解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则AN=（x+2）米
∵

，∴AM=

3(x+2)

，…（2分）
∴S_AMPN=AN•AM=

3(x+2)2

．
由S_AMPN＞32，得

3(x+2)2

＞32，又x＞0，
得3x²-20x+12＞0，解得：0＜x＜

或x＞6，
即DN长的取值范围是(0，

)∪(6，+∞)． …（6分）
（Ⅱ）矩形花坛AMPN的面积为y=

3(x+2)2

3x2+12x+12

=3x+

+12≥2

3x•

+12=24…（10分）
当且仅当3x=

，即x=2时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值24．
故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．…（12分）

点评：本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．

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