Question

如图，抛物线C：y=-

1

3

x²+1与坐标轴的交点分别为P，F₁，F₂．
（1）求以F₁，F₂为焦点且过点P的椭圆方程；
（2）经过坐标原点O的直线l与抛物线相交于A，B两点，若|AO|=3|OB|，求直线l的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出P，F₁，F₂的坐标，可得a，b，c，即可求以F₁，F₂为焦点且过点P的椭圆方程；
（2）设l：y=kx，代入椭圆的方程，利用韦达定理及|AO|=3|OB|，即可求直线l的方程．

解答： 解：（1）由y=-

1

3

x²+1解得P（0，1）、F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0），
所以b=1，c=

3

，从而a=2，
椭圆的方程为

x2

4

+y²=1．----（5分）
（2）依题意设l：y=kx，代入椭圆的方程得x²+3kx-3=0．----（8分）
设A、B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
依题意得△＞0，x₁+x₂=-3k，x₁x₂=-3，x₁=-3x₂，解得k=±

2

3

．----（10分）
所以，直线l的方程是y=

2

3

x或y=-

2

3

x．----（12分）

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．