Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n和S_n满足S_n=

1

2

（a_n²+a_n），n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b_n=（

1

2

）ⁿa_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+

n

2n

对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用S_n=

1

2

（a_n²+a_n），再写一式，两式相减，可得{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可求{a_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法，求出T_n，再利用不等式（-1）ⁿλ＜T_n+

n

2n

对一切n∈N^*恒成立，即可求λ的取值范围．

解答： 解：（1）∵Sn=

1

2

(

a

2 n

+an)，…①
∴Sn-1=

1

2

(

a

2 n-1

+an-1)，(n≥2)，…②
①-②得 2(Sn-Sn-1)=

a

2 n

+an-

a

2 n-1

-an-1
∴2an=

a

2 n

-

a

2 n-1

+an-an-1，
∴（a_n+a_n-1）•（a_n-a_n-1-1）=0
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1（n≥2）…（4分）
又a1=

1

2

(

a

2 1

+a1)∴a₁=1
∴{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a_n=1+（n-1）×1=n…（6分）
（2）易知bn=

n

2n

Tn=1×

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+(n-1)

1

2n-1

+n×

1

2n

Tn

2

=1×

1

22

+2×

1

23

+…+(n-2)

1

2n-1

+(n-1)×

1

2n

+n×

1

2n+1

两式相减得

Tn

2

=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-n×

1

2n+1

=1-

n+2

2n+1

∴Tn=2-

n+2

2n

…（9分）
∴(-1)nλ＜2-

2

2n

对一切n∈N^*恒成立
若n为偶数，则λ＜2-

2

22

，∴λ＜

3

2

若n为奇数，则-λ＜2-

2

2

，∴-λ＜1，∴λ＞-1，∴-1＜λ＜

3

2

…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法和分类讨论思想的合理运用．