Question

已知函数f（x）=

3

sin（ωx+ϕ），（0＜ϕ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（Ⅰ）求f（

π

8

）的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由余弦函数为偶函数，确定Φ=kπ+

π

2

，k∈Z，0＜Φ＜π，可确定Φ的值；又y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

，从而求得ω，写出f（x），再求f（

π

8

）的值；
（Ⅱ）f（x）=

3

cos2x⇒g（x）=f（x-

π

6

），再由余弦函数的减区间，即可得g（x）的单调递减区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

3

sin（ωx+ϕ）为偶函数，
∴Φ=kπ+

π

2

，k∈Z，
∵0＜ϕ＜π，∴Φ=

π

2

，
又函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
则

T

2

=

π

2

，T=π．
则ω=

2π

T

=2，
则f（x）=

3

sin（2x+

π

2

）=

3

cos2x，
∴f（

π

8

）=

3

cos

π

4

=

6

2

．
（Ⅱ）由知f（x）=

3

cos2x，
∴g（x）=

3

cos2（x-

π

6

）=

3

cos（2x-

π

3

）．
由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π，解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
∴g（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，及图象变换，考查函数的奇偶性与周期性，重点考查三角函数的平移变换与单调性，属于中档题．