Question

己知函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-

1

2

．
（1）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；
（2）证明：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

（n∈N^*．n≥2）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知：f′(x)=

1

x

-a，由题知f′(2)=

1

2

-a=-

1

2

，由此利用导数性质能求出a及f （x）的单调区间．
（2）要证明

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

（n∈N^*．n≥2），只须证

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

．由此利用导数性质和裂项求和法进行证明即可．

解答： （1）解：由已知：f′(x)=

1

x

-a，∴由题知f′(2)=

1

2

-a=-

1

2

，
解得a=1．∴f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f （x）为增函数，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数，
即f （x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
（2）证明：要证明

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

（n∈N^*．n≥2），
只须证

2ln2

22

+

2ln3

32

+…+

2lnn

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

，
只须证

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

．
由（Ⅰ）当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数，
f （x）=lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1，
∴当n≥2时，lnn²＜n²-1，

lnn2

n2

＜

n2-1

n2

=1-

1

n2

＜1-

1

n(n+1)

=1-

1

n

+

1

n+1

，

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜（1-

1

2

+

1

2+1

）+（1-

1

3

+

1

3+1

）+…+（1-

1

n

+

1

n+1

）
=n-1-

1

2

+

1

n+1

=

2n2-n-1

2(n+1)

，
∴

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

（n∈N^*，n≥2）．

点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．