Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+ax+b（a，b∈R）在x=2处取得的极小值是-

4

3

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）当x∈[-4，3]时，求函数f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求导函数，建立方程，可求a、b的值，从而可求a+b的值
（Ⅱ）比较端点值和极值得出函数f（x）的最大值与最小值．

解答： 解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=x²+a，
∵在x=2处取得的极小值是-

4

3

．
∴f′（2）=0，f（2）=-

4

3

．
4+a=0，

8

3

+2a+b=-

4

3

．
a=-4，b=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=x²-4，由f′（x）=0，得x=2或-2．
比较端点值和极值得出函数f（x）的最大值与最小值：
f（-4）=-

4

3

，f（-2）=

28

3

，f（2）=-

4

3

，f（3）=1．
所以f（x）的最大值为

28

3

，最小值为-

4

3

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与最值，解题的关键是正确求导，理解极值与最值的含义．