Question

已知△ABC中，角A、B、C的对边分别a、b、c，a=1，A+C=2B，△ABC的面积S=

3 3

4

．
（1）求b的长；
（2）求sin（

π

2

-2C）的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）根据三角形内角和定理及A+C=2B，求出B的度数，利用三角形面积公式列出关系式，将a，sinB，以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理即可求出b的值；
（2）利用余弦定理表示出cosC，将a，b，c的值代入求出cosC的值，原式利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，将cosC的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）∵A+C=2B，A+B+C=π，
∴B=

π

3

，
∵△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

3 3

4

，a=1，sinB=

3

2

，
∴c=3，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=1+9-3=7，
则b=

7

；
（2）∵a=1，b=

7

，c=3，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1+7-9

2 7

=-

7

14

，
则sin（

π

2

-2C）=cos2C=2cos²C-1=-

91

98

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．