Question

【题目】已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（Sn+n+1）（n∈N*），令bn=an+1．

（1）求数列{bn}的通项公式；

（2）证明：．

Answer 1

【答案】（1）bn=3n；（2）见证明

【解析】

（1）运用数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求；

（2）由an+1=3n，可得＜=，再由裂项相消求和，结合不等式的性质可得证明．

（1）由题意，可知a1=2，an+1=2（Sn+n+1）①

n=1时，a2=2×（2+1+1）=8，

n≥2时，an=2（Sn-1+n）②

①②相减整理可得an+1=3an+2，

可得an+1+1=3（an+1），n=1时，上式也成立，即有bn+1=3bn，

所以数列的通项公式为bn=b13n-1=3n；

（2）由an+1=3n，可得=

即有

=，