【题目】如图,在多面体中,四边形为菱形, , ,且平面平面.
(1)求证: ;
(2)若, ,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】【试题分析】(1)连接,根据菱形的几何性质有,由面面垂直的性质定理可知平面,所以, , ,所以平面,所以.(2) 设,过点作的平行线,以为坐标原点建立空间直角坐标系,通过计算平面和平面的法向量来求二面角的余弦值.
【试题解析】
(1)证明:
连接,由四边形为菱形可知,
∵平面平面,且交线为,
∴平面,∴,
又,∴,
∵,∴平面,
∵平面,∴;
(2)解:设,过点作的平行线,
由(1)可知两两互相垂直,
则可建立如图所示的空间直角坐标系,
设,则,
所以,
设平面的法向量为,则,即,
取,则为平面的一个法向量,
同理可得为平面的一个法向量.
则,
又二面角的平面角为钝角,则其余弦值为.
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【题目】(2017·湖北武汉第二次调研)如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图,现已知年龄在[30,35),[35,40),[40,45)的上网人数呈现递减的等差数列分布,则年龄在[35,40)的网民出现的频率为 ( )
A. 0.04 B. 0.06
C. 0.2 D. 0.3
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【题目】在海岸处,发现北偏东方向,距离为海里的处有一艘走私船,在处北偏西方向,距离为海里的处有一艘缉私艇奉命以海里/时的速度追截走私船,此时,走私船正以海里/时的速度从处向北偏东方向逃窜.
(1)问船与船相距多少海里?船在船的什么方向?
(2)问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间.
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【题目】等差数列的公差不为0,是其前项和,给出下列命题:
①若,且,则和都是中的最大项;
②给定,对一切,都有;
③若,则中一定有最小项;
④存在,使得和同号.
其中正确命题的个数为( )
A.4B.3C.2D.1
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【题目】【选修4-4:坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为: (为参数, ),将曲线经过伸缩变换: 得到曲线.
(1)以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立坐标系,求的极坐标方程;
(2)若直线(为参数)与相交于两点,且,求的值.
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【题目】【选修4-4:坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为: (为参数, ),将曲线经过伸缩变换: 得到曲线.
(1)以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立坐标系,求的极坐标方程;
(2)若直线(为参数)与相交于两点,且,求的值.
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