Question

【题目】已知函数 .

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）是否存在实数,使得函数在上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是，极小值为.（2）见解析.

【解析】试题分析：

(1)首先对函数求导，然后结合导函数与原函数的单调性可得函数的单调增区间是，单调减区间是，极小值为

(2)由题意结合(1)的结论分类讨论可得不存在满足题意的实数a.

试题解析：

由题意知， .

（1）由得，解得，所以函数的单调增区间是；

由得，解得，所以函数的单调减区间是.当时，函数有极小值为.

（2）由（1）可知，当时， 单调递减，当时， 单调递增.

①若，即时，函数在上为增函数，故函数的最小值为，显然，故不满足条件.

②若，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，故函数的最小值为，即，解得，而，故不满足条件.

③若，即时，函数在在上为减函数，故函数的最小值为，即，而不满足条件，综上所述，这样的不存在.