Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧面与底面垂直， 为正三角形， ， ，点分别为线段的中点， 分别为线段上一点，且， .

（1）当时，求证： 平面；

（2）试问：直线上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的大小为，若存在，求的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）存在点，且.

【解析】试题分析：

(1)由题意结合几何关系可证得平面，然后利用面面平行的性质即可证得.

(2)建立空间直角坐标系，结合题意可得存在点，且.

试题解析：

(Ⅰ)在线段上取一点，使得，

∵，∴，

又为中点，∴，

∵，∴，又易知，

∴.

又，∴平面，

而，∴.

（Ⅱ）取中点，连接，因为为正三角形，所以，

又侧面底面，所以底面，

如图所示，以为轴， 的中垂线为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，则， ，设，则， ，

设平面的的一个法向量为，

则，求得一个法向量

又易得平面的一个法向量为，

所以，

解得，故存在点，且.