Question

20．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知b=4，c=6，C=2B．
（1）求cosB的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意、正弦定理、二倍角的正弦公式求出cosB的值；
（2）由（1）和平方关系求出sinB的值，由二倍角的正弦公式求出sin2B和sinC的值，由二倍角的余弦公式求出cosC的值，由诱导公式、两角和的正弦公式求出sinA的值，代入三角形的面积公式求解即可．

解答 解：（1）因为b=4，c=6，C=2B，且$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
所以$\frac{4}{sinB}=\frac{6}{sin2B}$，即$\frac{4}{sinB}=\frac{6}{2sinBcosB}$，
又sinB≠0，∴$cosB=\frac{3}{4}$；
（2）由（1）知$cosB=\frac{3}{4}$，从而$sinB=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，
因此$sinC=sin2B=2sinBcosB=\frac{{3\sqrt{7}}}{8}$，
$cosC=cos2B=2{cos^2}B-1=\frac{1}{8}$，
所以sinA=sin（π-B-C）=sin（B+C）
=$sinBcosC+cosBsinC=\frac{\sqrt{7}}{4}×\frac{1}{8}+\frac{3}{4}×\frac{3\sqrt{7}}{8}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$，
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×4×6×\frac{{5\sqrt{7}}}{16}=\frac{{15\sqrt{7}}}{4}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，二倍角的公式、诱导公式、两角和的正弦公式、平方关系等应用，以及三角形的面积公式，考查化简、变形能力，属于中档题．