Question

10．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-5）x-2，x≥2}\\{{x}^{2}-2（a+1）x+3a，x＜2}\end{array}\right.$ 对任意x₁，x₂∈R（x₁≠x₂），都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，1]
• B． （1，5）
• C． [1，5）
• D． [1，4]

Answer 1

分析 若对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，则函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-5）x-2，x≥2}\\{{x}^{2}-2（a+1）x+3a，x＜2}\end{array}\right.$ 为减函数，进而根据分段函数单调性的定义，可得答案．

解答 解：若对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，
则函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-5）x-2，x≥2}\\{{x}^{2}-2（a+1）x+3a，x＜2}\end{array}\right.$ 为减函数，
则$\left\{\begin{array}{l}{4-4（a+1）+3a≥2（a-5）-2}\\{a+1≥2}\\{a-5＜0}\end{array}\right.$，
解得：a∈[1，4]，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并正确理解分段函数单调性的定义，是解答的关键．