Question

1．已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且S_n+1-2S_n-n-1=0（n∈N^*）．
（Ⅰ） 求证：数列{a_n+1}为等比数列；
（Ⅱ） 令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由S_n+1-2S_n-n-1=0，利用递推关系可得：a_n+1-2a_n-1=0，变形为a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），即可证明．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${a_n}={2^n}-1$．可得${b_n}=n{a_n}=n×{2^n}-n$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：由S_n+1-2S_n-n-1=0，
当n≥2时，S_n-2S_n-1-n+1-1=0，
两式相减，得a_n+1-2a_n-1=0，可得a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），
又（a₁+a₂）-2a₁-1-1=0，则a₂=3，满足a₂+1=2（a₁+1），
即{a_n+1}是一个首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得${a_n}={2^n}-1$．
∴${b_n}=n{a_n}=n×{2^n}-n$，
则T_n=b₁+b₂+…+b_n=1×2¹+2×2²+…+n×2ⁿ-（1+2+…+n）．
令${W_n}=1×{2^1}+2×{2^2}+…+n×{2^n}$，
则$2{W_n}=1×{2^2}+2×{2^3}+…+n×{2^{n+1}}$，
∴$-{W_n}=2+{2^2}+…+{2^n}-n×{2^{n+1}}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n×{2^{n+1}}=（1-n）{2^{n+1}}-2$．
则${W_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$．
∴${T_n}=（n-1）{2^{n+1}}-\frac{n（n+1）}{2}+2$．

点评 本题考查了数列递推关系、“错位相减法”与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．