Question

19．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{2}^{x}，x≤0}\\{{x}^{3}-3x+a，x＞0}\end{array}\right.$的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是（　　）

• A． 2≤a≤3
• B． a＞2
• C． a≥2
• D． 2≤a＜3

Answer 1

分析 先可求得x≤0时，0≤f（x）＜1，从而根据f（x）的值域[0，+∞）即可得到x＞0时，f（x）的值域B满足[1，+∞）⊆B⊆[0，+∞），并求出x＞0时，f′（x）=3（x²-1），根据导数符号便可求出x=1时，f（x）取到最小值a-2，这样即可得出关于a的不等式，进而得出实数a的取值范围．

解答 解：x≤0时，0＜2^x≤1；
∴0≤1-2^x＜1；
∴x＞0时，f（x）=x³-3x+a的值域B满足[1，+∞）⊆B⊆[0，+∞），
f′（x）=3（x²-1）；
∴0＜x＜1时，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0；
∴x=1时，f（x）取最小值a-2；
∴0≤a-2≤1；
∴2≤a≤3；
∴实数a的取值范围是[2，3]．
故选A．

点评 考查函数值域的概念及求法，分段函数值域的求法，指数函数的单调性，根据导数求函数最值的方法．