Question

4．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n是${a_n}^2$和a_n的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}={a_n}•{2^{2{a_n}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n是${a_n}^2$和a_n的等差中项，可得$2{S_n}={a_n}^2+{a_n}$，利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出．
（II）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵S_n是${a_n}^2$和a_n的等差中项，∴$2{S_n}={a_n}^2+{a_n}$，
又$2{S_{n-1}}={a_{n-1}}^2+{a_{n-1}}（n≥2）$，
两式相减并化简得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，
又a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，
故数列{a_n}是公差为1的等差数列．
当n=1时，$2{a_1}=2{S_1}={a_1}^2+{a_1}$，又a₁＞0，∴a₁=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（II）由（I）知b_n=n•2²ⁿ=n•4ⁿ，∴T_n=1•4¹+2•4²+…+n•4ⁿ，
∴4T_n=1•4²+2•4³+…+n•4ⁿ⁺¹，
两式相减，得-3T_n=4¹+4²+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹=$\frac{4（1-4n）}{1-4}$-n•4ⁿ⁺¹=$\frac{1-3n}{3}$×4ⁿ⁺¹-$\frac{4}{3}$．
∴T_n=$\frac{3n-1}{9}$×4ⁿ⁺¹+$\frac{4}{9}$=$\frac{4+（3n-1）4n+1}{9}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．