Question

14．已知函数f（x）定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上为减函数，若f（log₂m）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$m）≤2f（1），则m的取值范围是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$]
• C． （$\frac{1}{2}$，2]
• D． （0，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 由偶函数的性质将f（log₂m）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$m）≤2f（1），化为：f（log₂m）≤f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出m的取值范围．

解答 解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，
所以f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$m）=f（log₂m）f（log₂m），
则f（log₂m）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$m）≤2f（1）为：f（log₂m）≤f（1），
因为函数f（x）在区间[0，+∞）上为减函数
所以|log₂m|≥1，解得0＜m≤$\frac{1}{2}$或m≥2，
则m的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）．
故选：D

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题．