Question

2．已知函数f（x）=x²+bx+1满足f（1+x）=f（1-x），$g（x）=\frac{f（x）}{x}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断g（x）在[1，2]上的单调性并用定义证明你的结论；
（3）求g（x）在[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数的对称性求出b，然后求解函数的解析式．
（2）判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可．
（3）利用函数的单调性，直接求解函数的最值即可．

解答 解：（1）函数f（x）=x²+bx+1满足f（1+x）=f（1-x），
可知函数的对称轴为：x=1，所以$-\frac{b}{2}=1$，b=-2，
函数f（x）的解析式：f（x）=x²-2x+1．
（2）$g（x）=\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{1}{x}$-2，g（x）在[1，2]上的单调性是增函数，
证明：设1≤x₁＜x₂≤2，x₁-x₂＜0，$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
g（x₁）-g（x₂）=x₁-x₂+$\frac{1}{{x}_{1}}$$-\frac{1}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）＜0，
g（x₁）＜g（x₂），
所以函数g（x）在[1，2]上是增函数．
（3）由（2）可知，函数是增函数，函数的最小值为：g（1）=0，
函数的最大值为：g（2）=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查二次函数的简单性质以及解析式的求法，函数的单调性的判断与证明，单调性的应用，考查计算能力．