Question

12．已知函数f（x）=2sin xcos x-2sin²x+1（x∈R），若在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=$\sqrt{3}$，A为锐角，且f（A+$\frac{π}{8}$）=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，则△ABC面积的最大值为（　　）

• A． $\frac{{3（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数基本关系化简函数解析式为f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），由f（A+$\frac{π}{8}$）=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，可求得cos2A=$\frac{1}{3}$，而A为锐角，可求得cosA、sinA，又a=$\sqrt{3}$，利用余弦定理与基本不等式可得bc≤$\frac{9}{2}$+$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，从而可求得△ABC面积S的最大值．

解答 解：∵f（x）=2sinxcosx-sin²x+1
=2sinxcosx+cos2x
=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x）
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）---（2分）
∵f（A+$\frac{π}{8}$）=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
∴$\sqrt{2}$sin（2A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴cos2A=$\frac{1}{3}$，
∴2cos²A-1=$\frac{1}{3}$，
∵A为锐角，即0＜A＜$\frac{π}{2}$，
∴cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．--------------------（8分）
又∵a=$\sqrt{3}$，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即（$\sqrt{3}$）2=b²+c²-2bc•$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵b²+c²≥2bc，
∴bc≤$\frac{9}{2}$+$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．-------------------------（10分）
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$（$\frac{9}{2}$+$\frac{3\sqrt{6}}{2}$）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{{3（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}}{4}$．
故选：A．---------（12分）

点评 本题考查同角三角函数基本关系，突出余弦定理与基本不等式的应用，综合性强，属于中档题．