Question

17．已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，离心率为$\sqrt{2}$，且过点M（4，-$\sqrt{10}$）．
（1）求双曲线方程；
（2）若点N（3，m）在双曲线上，求证：$\overrightarrow{NF}$₁•N$\overrightarrow{F}$₂=0．

Answer 1

分析 （1）e=$\sqrt{2}$，故可等轴设双曲线的方程为x²-y²=λ（λ≠2），过点M（4，-$\sqrt{10}$），可得16-10=λ，即可求双曲线方程；
（2）求出向量坐标，利用向量的数量积公式，即可证明结论．

解答 解：（1）∵e=$\sqrt{2}$，故可等轴设双曲线的方程为x²-y²=λ（λ≠2），
∵过点M（4，-$\sqrt{10}$），∴16-10=λ，
∴λ=6．
∴双曲线方程为x²-y²=6．
（2）证明：由（1）可知：在双曲线中，a=b=$\sqrt{6}$，∴c=2$\sqrt{3}$．
∴F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F₂（2$\sqrt{3}$，0）．
∴$\overrightarrow{N{F}_{1}}$=（-2$\sqrt{3}$-3，-m），
$\overrightarrow{N{F}_{2}}$=（2$\sqrt{3}$-3，-m）．
∴$\overrightarrow{N{F}_{1}}$•$\overrightarrow{N{F}_{2}}$=+m²=-3+m²．
∵N点在双曲线上，∴9-m²=6，∴m²=3．
∴$\overrightarrow{N{F}_{1}}$•$\overrightarrow{N{F}_{2}}$=0．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．