Question

7．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=24，S₁₁=0
（Ⅰ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$，求数列{b_n}前n项和T_n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别利用等差数列的通项公式及等差数列的前n项和的公式由a₃=24，S₁₁=0表示出关于首项和公差的两个关系式，联立即可求出首项与公差，利用等差数列的前n项和的公式即可表示出S_n；
（Ⅱ）求出数列{b_n}前n项和公式得到T_n是关于n的开口向下的二次函数，根据n为正整数，利用二次函数求最值的方法求出T_n的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意有$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=24}\\{11{a}_{1}+\frac{11×10}{2}d=0}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=40}\\{d=-8}\end{array}\right.$，∴S_n=$\frac{（40+48-8n）n}{2}$=-4n²+44n．
（Ⅱ）∵S_n=-4n²+44n
∴b_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$=44-4n，
∴b_n+1-b_n=-4
∴{b_n}为等差数列，
∴T_n=$\frac{1}{2}$（40+44-4n）n=（42-2n）n=-2n²+42n=-2（n-$\frac{21}{2}$）²+$\frac{441}{2}$
故当n=10或n=11时，T_n最大，且T_n的最大值为220．

点评 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式，灵活运用二次函数求最值的方法解决实际问题，是一道中档题．