Question

16．如图所示，BC 为⊙O 的直径，$\widehat{AB}=\widehat{AD}$，以点 A 为切点的切线与 CD 的延长线交于点E 
（1）∠AED 是否等于90°？为什么？
（2）若 AD=2$\sqrt{5}$，ED：EA=1：2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求∠CAD  的正弦值．

Answer 1

分析 （1）证明△AED∽△CAB，可得结论；
（2）由题意知AB=AD=2$\sqrt{5}$，△EAD∽△ACB，即可求⊙O的半径；
（3）过 D作 DF⊥AC 于 F，在（2）的条件下，利用△CDF∽△CBA，即可求∠CAD  的正弦值．

解答 解：（1）∠AED=90°．理由如下：
连接 AB，由BC为直径，得∠BAC=90°．
又 AE切 圆O 于 A，$\widehat{AB}=\widehat{AD}$，
∴∠EAD=∠ACE=∠ACB．
又四边形 ABCD 内接于 圆O，
∴∠ADE=∠B，
∴△AED∽△CAB，
∴∠AED=∠CAB=90°；
（2）∵AD=2$\sqrt{5}$，ED：EA=1：2，∠AED=90°，
∴ED=2，EA=4．
又由题意知AB=AD=2$\sqrt{5}$，△EAD∽△ACB，
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{ED}{AB}$，
∴BC=10，∴圆O 的半径为5．
（3）过 D作 DF⊥AC 于 F．根据（2）可求AC=4$\sqrt{5}$，
在△AEC中，可求得 CE=8，∴CD=6．
由题意知△CDF∽△CBA，
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{CD}{CB}$，
∴DF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠DAC=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．