Question

11．设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-2．
（I）求f（0）的值；    （II）求证：f（x）是奇函数；
（III）当-3≤x≤3时，不等式f（x）≤2m-1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由f（x）+f（y）=f（x+y），令x=y=0，解得f（0）．
（II）令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，即可证明．
（III）任取-3≤x₁＜x₂≤3，则f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）+f（x₂-x₁），利用当x＞0时，f（x）＜0，
即可得出f（x）在[-3，3]上是减函数．可得f（x）在[-3，3]上的最大值为f（3）．由f（1）=-2，可得f（2）=2f（1），f（3）=f（2）+f（1）．当-3≤x≤3时，不等式f（x）≤2m-1恒成立，f（x）_max≤2m-1，即可得出．

解答 （I）解：由f（x）+f（y）=f（x+y），
令x=y=0，则2f（0）=f（0），解得f（0）=0．
（II）证明：令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）在[-1，1]上的奇函数．
（III）解：任取-3≤x₁＜x₂≤3，则f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）+f（x₂-x₁），
由x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在[-3，3]上是减函数．
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为f（3）．
∵f（1）=-2，∴f（2）=2f（1）=-4，
f（3）=f（2）+f（1）=-4-2=-6．
当-3≤x≤3时，不等式f（x）≤2m-1恒成立，
∴f（x）_max≤2m-1，∴-6≤2m-1，解得m≥$-\frac{5}{2}$．
∴m的取值范围是$[-\frac{5}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了抽象函数的单调性与奇偶性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．