Question

1．已知f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，其中$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-$\sqrt{3}$sin2x），$\overrightarrow{b}$=（cosx，1）x∈R
（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c且b＞c，f（A）=-1，a=$\sqrt{7}，\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=3，求b和c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，由此求出最小正周期和单调减区间．
（2）由f （A）=-1求得cos（2A+$\frac{π}{3}$）=-1，从而求出A的值，再由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=3和余弦定理求得b和c的值

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-$\sqrt{3}$sin2x），$\overrightarrow{b}$=（cosx，1），
∴f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=2cos²x-$\sqrt{3}$sin2x=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+1
=2（$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）+1=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
∵-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{2π}{3}$+kπ≤x≤kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{2π}{3}$+kπ，kπ-$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
（2）∵f（A）=-1，
∴2cos（2A+$\frac{π}{3}$）+1=-1，
∴cos（2A+$\frac{π}{3}$）=-1，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=3，
∴bc=6，
由余弦定理得  a²=b²+c²-2bccosA
=（b+c）²-3bc，7=（b+c）²-18，b+c=5，
又b＞c，
∴b=3，c=2．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性和周期性，余弦定理的应用，属于中档题．