Question

13．△ABC中，cosA=$\frac{1}{8}$，AB=4，AC=2，则∠A的角平分线AD的长为（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由条件利用余弦定理求得BC、cosB的值，根据角平分线的性质求得BD的值，再利用余弦定理求得AD的值．

解答 解：在△ABC中，因为cosA=$\frac{1}{8}$，AB=4，AC=2，
则由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA
=16+4-16×$\frac{1}{8}$=18，解得BC=3$\sqrt{2}$，
所以cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2•AB•BC}$=$\frac{16+18-4}{2×4×3\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，
根据角平分线的性质可得：
$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，所以BD=$2\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，
由余弦定理得，AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cosB
=16+8-2×4×$2\sqrt{2}$×$\frac{5\sqrt{2}}{8}$=4，则AD=2，
故选C．

点评 本题考查了余弦定理，以及角平分线的性质的综合应用，考查化简、计算能力．