Question

1．已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]
（1）当a=-1时，求函数的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数
（3）已知函数y=x+$\frac{t}{x}$有如下性质：
如果常数t＞0，那么该函数（0，$\sqrt{t}$]上是减函数，在[$\sqrt{t}$，+∞）上是增函数．
利用上述性质，直接写出函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，x∈（0，5]的单调区间，并求值域．

Answer 1

分析 （1）直接将a=-1代入函数解析式，求出最大最小值．
（2）先求f（x）的对称轴x=-a，所以若y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，则区间[-5，5]在对称轴的一边，所以得到-a≤-5，或-a≥5，这样即得到了a的取值范围；
（3）利用函数y=x+$\frac{t}{x}$在（0，$\sqrt{t}$]上是减函数，在[$\sqrt{t}$，+∞）上是增函数，即可得出结论．

解答 解：（1）当a=-1时，函数f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1的对称轴为x=1，
∴y=f（x）在区间[-5，1]单调递减，在（1，5]单调递增，…2
且f（-5）=37，f（5）=17＜37…3
∴f（x）_min=f（1）=1，f（x）_max=f（-5）=37…5
（2）∵f（x）=x²+2ax+2在区间[-5，5]上是单调函数，
∴对称轴x=-a∉[-5，5]…6
即-a≤-5或-a≥5，即a≥5，或a≤-5…8
（3）∵g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x+2a+$\frac{2}{x}$，x∈[-5，5]
且函数y=x+$\frac{t}{x}$在（0，$\sqrt{t}$]上是减函数，在[$\sqrt{t}$，+∞）上是增函数．
∴g（x）在（0，$\sqrt{2}$）单调递减，[$\sqrt{2}$，5]单调递增…10
且g（$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$+2a，x→+∞时，g（x）→+∞，
∴g（x）的值域为[2$\sqrt{2}$+2a，+∞）…12

点评 本题考查了二次函数的单调性以及最大最小值问题，属于常见题型，应该熟练掌握．